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学習塾 ネクストステージ

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2015/12/01

【中学受験算数】第1回約数の個数①

中学受験の難関校ではよく出題される「約数の個数】の問題。

 

そもそも、解き方や考え方をしらない保護者や大人の方も多いのではないでしょうか。

お子様が困ったときのために、理解をしておきましょう。

 

①約数の個数の公式 ~素因数分解の利用~

難関校まで視野に入れた塾のテキストであれば、必ず掲載されている公式です。

ある数NがN=A^a×B^b×C^c…で表されるとき、
約数の個数=(a+1)(b+1)(c+1)…
になりますよ、というものです。

 

とても大切な公式です。難関進学校を目指す受験生は、まず1度は目にしたことがあります。
しかし一方で、この公式を忘れてしまっている受験生は多いものです。

 

なぜでしょう…。

 

 

そもそも、これしきの公式を覚える必要があるのでしょうか。
もし、今教わっている先生が「とにかく覚えろ!」としか言わない塾の先生ならば、その先生は怪しいです。
なぜなら、約数の個数は「場合の数」で理解すれば公式いらずで忘れることもなく、なにより応用が聞くようになるからです。
それでは次回「場合の数」での考え方を一緒に学びましょう。わずか3分で約数の個数を理解し使えるようになりますよ!

 

 

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2015/11/23

【中学受験算数】場合の数~分け方の計算~

Q.6個のボールをA、B、Cの3人で分ける方法は全部で何通りですか。ただし、1個ももらえない人がいても良いものとする。

 

このような問題のとき、中学受験の算数では書き出して求めます。

 

書き出して求められないとダメです。

 

一方で、計算では求められないの?と質問されることも多いので今回は計算方法を紹介します。
※前提としてC(組み合わせ、コンビネーション)の計算ができるものとします。

 

はじめに注意しておきますが、同じような問題でも、ボールに区別がつくときや、分ける相手に区別がつかない(皿や箱に分ける)ときがありますので、『計算で解けるようにすること』が今回の目的ではありません。こういう風に考えれば良いんだ!と、考え方の幅を広げてもらえればと思います。

 

それでは、計算で求める考え方です。

 

①必ずひとつはもらえる分け方を考える
まずは、この条件から考えましょう。後にこの考え方も使いますので、知らない方は必ず読んでください。

 

考え方は簡単です。

 

分けるための区切り線を考えれば良いのです。

 

実際に、何かを分けるときも、『ここまではボクの分・・・』って感じで、手で自分の分までの区切りをつくることが多いのではないでしょうか。

 

6個のボールを分けるときのイメージは↓のようになります。

 

689e15_a80fe7ae72924e2b9b8509e0fb812386

 

このとき区切り線は、ボールの数より1本少ない5本になります。ボールがN個なら、区切り線は(N-1)本です。

 

3つに分けますので、区切り線は2本必要です。

 

例えば、区切り線のうち左から1本目と4本目を選んで配った場合は、次のようになります。

 

689e15_7db287522bcd4bff9360e14bfb8130fc

 

 

これで、区切り線(1本目、4本目)という選び方により、(A、B、C)=(1個、3個、2個)という配り方が決まったわけです。

 

つまり、6個のボールを3人で分ける、1個以上もらう配り方は、5本の区切り線から2本選ぶ場合と同じです。

 

数学的に表すと、n個のボールをr人で分ける、1個以上もらう配り方は、n-1Cr-1です。

 

では本題です。

 

②ひとつももらえなくても良い分け方を考える
まともに考えると上手くいきません。

 

ここで私が開発した特殊なボールの登場です。

 

このボールは刺激を与えると大爆発して、世界を破滅させます。うそです。

 

このボールは、分けられたボールのうち1人につき1つだけが透明になる機能をそなえています。

 

3人いて1つずつ、合計3個が透明になって消えてしまいますので、この特殊なボールは、6個+消える3個分=9個分用意します。

 

これを配ればよいのです。

 

①の区切り線の考え方を合わせれば、↓こんな感じです。

 

689e15_7b2e53520fe94fb59323db30ab96b899

 

 

そうすれば、0個を上手く表せます。

 

計算では、6+3個=9個のボール ⇒ 区切り線は 9-1=8本 ⇒ 8本から2本選ぶ を求めれば良いのです。

 

数学的に表すと、n個のボールをr人で分ける、ひとつももらえなくても良い配り方は、n+r-1Cr-1 となります。

 

ここからは余談です。

 

先ほど導いた式は、n+(r-1)個から(r-1)個を選ぶ場合も、n+(r-1)個からn個を選ぶ場合も同じになりますので、n+r-1Cnと表すこともできます。ちなみにこの式は重複組み合わせの式に当てはめると、rHn とも表すことができます。

 

今回の問題では、3H6 になりますから、異なる3種類のものから重複を許して6個選ぶ場合と同じです。
つまり、A、B、Cの3種類のアルファベットから作れる6文字の組み合わせと同じです。
一部だけ書くと
AAAAAA , AAAAAB , AAAAAC・・・, AAABBB , AAABBC ,・・・, CCCCCCという感じです。
もうなんとなくやっていることはわかりますよね。

 

6個のボールをA、B、Cに割り振っているのです。
(個数がかぶらないように、順列ではなく、組み合わせです。)
ですから
AAAAAA⇒(A、B、C)=(6個、0個、0個)
AAABBC⇒(A、B、C)=(3個、2個、1個)
・・・
を意味します。

 

重複組み合わせの方が考え方がかんたんじゃん!と思った人もいるかもしれませんが、
そもそも重複組み合わせの公式を理解していなければ計算に持ち込めません。

 

ですので、今回は”特殊なボール”の考え方を用いて、小学生でも理解できる組み合わせの公式だけで導いてみました。

 

ちなみに本当に答えが合うか試したい方は基本トレーニングシリーズ:場合の数~選び方~大問8に挑戦してみてください。

2015/11/21

【中学受験算数】ていねいな筆算 vs 暗算

よく相談を受けることのひとつとして、計算が挙げられます。

 

『うちの子、暗算ばかりやろうとして、ぜんぜん筆算しないんです。』
『暗算でできそうな問題もわざわざ筆算するんです。どうしましょう・・・?』

 

対極的な相談・・・どちらにしても不安を感じるわけですね。

 

実際に暗算タイプか、筆算タイプか、お子様によって違います。保護者の方の中には、『暗算ではなく、しっかりと筆算で解いてほしい』と思っている方が多いようです。

 

で、結論ですが、
『暗算で計算間違えをしないならそれが一番!』です。

 

ちなみにここで言っているのは、途中式を書く、書かないではなく計算の話です。

 

とくに中学受験をする小学生であれば、ある程度のことは暗算で解けるようにするべきです。
頭も柔らかい時期ですので、鍛えればすぐにできるようになります。

 

では、誰が暗算を教えるの?という話です。

 

いわゆる学習塾ではあまり教えません。そろばん教室や計算指導に特化している塾なら教えます。

 

私は教えます。
結構な時間が取られたとしても、徹底的にやります。
3.14の計算・分数⇔小数の変換・中心角の約分・・・など、全部暗算です。

 

なぜ、やるかというと計算で時間を取られたくないからです。
早い段階で鍛えておけば、そこから先にかかる計算の時間を大幅に短縮できます。
いわゆる差集め算です。

 

私の生徒がじわじわと成績があがってくる秘訣も実はここにあるのです。

 

塾の先生が教えてくれないとすればご家庭で見る他なさそうです。
NextStageの無料教材でも使ってください。

2016/01/05

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2015/09/17

中学受験【算数の偏差値を40から50に上げる方法】

中学受験では一生懸命勉強してもなかなか偏差値50を超えられない・・・という方が多いです。

 

偏差値50は平均を表しており、おおまかに言ってしまえば、中学受験生の半分ぐらいが偏差値50に届いていないわけです。

 

高校受験とは違い、中学受験では保護者がかなりの労力をかけて学習をサポートしていますから、その中で上位50%に入るのは大変です。

 

「親子で一生懸命がんばっているのに・・・」とお困りの方へ。

 

ここからは私の実際の経験です。

 

今年の夏も偏差値の大幅アップに成功しています。

 

参考にしてください。

 

【結論】一行問題の完成度を上げる

 

これに尽きます。

 

複雑な問題を解くのは、一行問題が解けてからです。

 

大問の練習なんていりません。

 

すべて一行問題に全力をかけます。

 

そしてここがポイントですが、

 

解けるまで何度も繰り返し解き直します。

 

できれば、1・2週間おいて解きなおしです。

 

そうすることによって初めて、定着します。

 

「一度教えればできるようになる」・・・中学受験では通用しません。

 

私は、3回教えて解けるようになればOK、と思って教えています。
(1回で理解させなければ時間のムダです。)

 

ちなみに私も使用させていただいていますが、すぐる学習会の基礎500は、すばらしい教材です。

 

教材で悩んでいるヒマがあれば、基礎500を完璧にすると良いでしょう。

 

最後に・・・やるからには徹底して取り組まなければ、効果は薄れます。

 

一行問題を完璧する、他のことはそれから、という覚悟を持って取り組みましょう。

 

ただそれだけで、偏差値50の壁はあっさり越えられます。

 

とはいえ、学習管理はなかなか大変なものです。

 

学習塾NextStageに丸投げするのが一番簡単な方法です。

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