平面図形と比(相似比と面積比・複合型)
問題 下の図のような三角形ABCがあります。辺DEは辺BCに平行で、辺FHは辺ABに平行です。また、AF:FE:EC=2:1:1です。このとき、三角形FEGと平行四辺形DBHGの面積の比を求めなさい。
★ルール★
①辺の比(相似比)から面積比を書き入れる!
ピラミッド型の相似形より、相似比を求めると
三角形ABC:三角形ADE:三角形FHC:三角形FGE
=(2+1+1):(2+1):(1+1):1
=4:3:2:1
面積比はそれぞれ
⊿ABC=4×4=⑯
⊿ADE=3×3=⑨
⊿FHC=2×2=④
⊿FGE=1×1=①
四角形GHCF=④-①=③
四角形DBCE=⑯-⑨=⑦
四角形DBHG=⑦-③=④
よって
三角形FEG:平行四辺形DBHG
=1:4
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平面図形と比(メネラウス型)
問題 下の図の三角形で、AE:EC=2:1、BD:DC=1:1とき、BF:FEの比を求めなさい。
★ルール★
①複雑な比の方から面積比を書き込む
②【底辺比と面積比】、【矢じり型の面積比】を利用する!
答え
AE:EC=2:1より ⊿AFE:⊿CFE=2:1
ここで⊿ACF=③
BD:DC=1:1より ⊿ABF:⊿ACF=1:1=③:③
⊿ABF=③
⊿ABF:⊿AEF=③:②=3:2より、
BF:FE=3:2
※今回の問題は最短の手順で答えを求めたが、自分と解くともう少し手順が増えることもある。また、途中の比が分数になることもある。気にせず解ききること。
※メネラウスの定理で解く方法もあるが、中学受験ではそのまま使える問題があまり出題されないので、それで教えることのメリットが少ない。底辺の比や矢じり型を使いこなせるようになる方が汎用性は高い。
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